混沌与分形（上）
**命运无常，是天意还是混沌的力量** 西汉时期《礼记》记载：失之毫厘，谬以千里。
分形是大自然的语言，分形几何填补了欧几里得几何两千多年来的空白，提供了新的描述自然的方式。 无限复杂的现象背后有着极其简单的规则。 简化的形状是人工的非自然的产物，人类天然对“美”的感知来源于不同尺度上的复杂结构。 视频来自于Ted：分形和粗糙的艺术，这是科学与美的完美结合，期待你能有时间陶醉其中，Enjoy 文章来源：“科学大院”公众号（ID：kexuedayuan）
作者：苏澄宇
命运无常，是天意还是混沌的力量 西汉时期《礼记》记载：失之毫厘，谬以千里。
17世纪中期，法国数学家帕斯卡调侃道：如果埃及艳后的鼻子再短一寸的话，整个人类世界的历史都将被改写。
三百多年后，美国气象学家洛伦兹用铿锵的语气告诉世人：一只亚马逊的蝴蝶煽动一下翅膀，可能会在美国引起一场龙卷风。
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人们的生活可能就是如此。表面看来，我们只能沿着一条轨迹前进。然而多年后回想起来，似乎当初的每一刻都是重要的时间点。每一个细小的决定都会在长期的酝酿里发酵，最终产生意想不到的结果，全方位地塑造我们的生活。
当你老了，回顾一生，就会发觉：什么时候出国读书、什么时候决定做第一份职业、何时选定了对象而恋爱、什么时候结婚，其实都是命运的巨变。只是当时站在三岔路口，眼见风云千樯，你做出抉择的那一日，在日记上，相当沉闷和平凡，当时还以为是生命中普通的一天。 ——《杀鹌鹑的少女》 回首往事，人们总是感叹命运的无常。然而，天道的无常真是人们无法逃脱的宿命吗？数千年来，人们一直在苦苦思索这一近乎终极的难题，试图破译命运的密码，找回生命的主动权。谁也未曾料想，命运、无常竟是宇宙的真理。这一真理的曙光，就隐匿在混沌的迷雾之中。
混沌是什么
混沌是一种神秘的现实。它似乎意味着一种完全无序的状态，意味着天地未开时的朦胧，更述说着宇宙诞生时的空虚。混沌，就是混乱和无序的代名词。古往今来，无数人尝试走入混沌的世界，却没有人能找到返程的大门，更没有人能寻觅到混沌的精髓。
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对混沌本质的认识，从远古时代对命运的敬畏，伴随着科学史上一次又一次匪夷所思的发现，终于在1963年振翅一飞，破茧成蝶，以“蝴蝶效应”的美名与混沌翩翩起舞。
**混沌理论的诞生，更是被誉为20世纪仅次于广义相对论和量子力学的第三大自然科学的发现。**从此以后，人们终于触及世界深处的本质。基于对蝴蝶效应的研究，分形理论、混沌理论和非线性动力系统等等复杂理论应运而生。这些理论终于能够解释让世界得以运转的更深层次的规律，终于能够为无常的命运把脉，甚至能够逐步解开生命的密码。
蝴蝶效应告诉人们：巴西热带雨林中的蝴蝶煽动几下翅膀，可能在美国德克萨斯州引起一场龙卷风。这种效应在今天比比皆是。
一些微不足道的小改变，可能会酿成生活的大灾难。一个私密的谣言，可能会让当事人名誉扫地，而受害人却要花费远超过造谣人的成本来弥补这些伤害。一些关于股票的内部消息，可能会引起投资人的恐慌，促使股市灾难性地下跌。历史上，银行发生的挤兑、对生活物资的疯抢、一家私人银行的倒闭引发的金融海啸，都源于一点点信心的丧失。
然而，蝴蝶效应也有好的一面。如果能借力打力，更是可以形成四两拨千斤的神奇效果。互联网时代，通过网络的放大效应，草根阶层也有了逆袭成为明星的机会。一部小成本的电影，如果得到少数精英的推荐，也能引爆市场，成为经典。投资者如果能善用杠杆，用很少的本金就能撬动大笔的资金创造出惊人的财富。
**归根结底，正如蝴蝶效应所揭示的那样，初始条件的细微改变会引起事件结果的剧烈波动。**一个复杂系统，从诞生起就注定与蝴蝶效应为伴。蝴蝶效应更剑指混沌的特征：在确定性系统中看似随机的无规律行为；由于确定性的规律，短期内可预测；又因为蝴蝶效应的不可预测性，长期则无法预测。
也因为如此，人们的命运变得扑朔迷离。一些小事都可以在我们的生活中引起巨大的不同，甚至会影响国家的命运。有人曾经不恰当地感叹道：如果维也纳艺术学院当初没有再三拒绝希特勒的申请，世界上是否会减少几千万冤死的亡灵。
虽然混沌的表象十分模糊，但它的内心却异常的温柔舒缓。如果把混沌的信号通过扬声器播放，它听上去就仿佛是帮助失眠者入睡的背景音乐。让我们一起去欣赏这曲迷人的音乐，一起去聆听走进这个牵动着古往今来无数人心弦的故事。它的过去和未来，正在向我们展开胸怀。
分形的奇迹——分数维的曲线
混沌的秘密，不可思议地隐藏在分形的世界里。
分形（fractal），该术语最早是由美国数学家曼德勃罗（Mandelbrot）于1973年提出。
曼德勃罗（1924-2010）
在其名著《大自然的分形几何学》中，曼德勃罗开创了分形几何学。分形几何以及与其相关的非线性理论，很快就显示出强大的生命力，其影响迅速遍及科学和社会的每个角落。许多学科中的难题，因为分形的介入而焕然一新。如梦初醒的科学家才发现，原来分形的身影已经在世界上默默存在了数亿年，从地球诞生始就向大自然昭示其深邃的奥秘。
植物的分形（图片来源：网络）
生活中常见的花菜、雷雨过后的闪电、凛冬漫天飞舞的雪花、贝壳身上的螺旋图案，小至各种植物的结构及形态，遍布人体全身纵横交错的血管，大到天空中聚散不定的白云、连绵起伏的群山，它们都或多或少表现出分形的特征。乍看起来杂乱无章的分形，原来是大自然的基本存在形式，无处不在，随处可见。
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分形如此广泛地分布在自然界中，却又与千百年来的智者擦肩而过。它的发现，正式揭开了大自然最迷人和动人的奥义之一。
早在两千多年前的古希腊时代，人们最杰出的成就来自数论与几何，特别是欧几里得几何的建立，更使得几何学成为最严格和易于把握的公理化体系。 几何研究的对象是图形。为了研究不同的几何对象，人们倾向于把它们进行归类。从点、线、面到立体，人们的思维逐渐扩展开来。渐渐地，人们意识到区别几何图形的重要分水岭：维度。直线和曲线是一维的图形，平面则是二维的图形，立体则属于三维的空间。
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一切都是那么的直观，历史在平静地流淌。直到有一天，一件匪夷所思的事打破了人们对维度的信念。 **1890年，意大利数学家皮亚诺（Piano）构造了一种奇怪的曲线，该曲线自身并不相交，但是它却能通过一个正方形内部所有的点。**换句话说，这条曲线就是正方形本身，进而应该拥有和正方形一样的面积。这个怪异的结论让当时的数学家大吃一惊，更让数学界感到深切的不安：如此一来，我们拿什么来区分曲线和平面？这条曲线究竟是一维，还是二维？经典的几何在它面前束手无策。这只被放逐出来的怪兽，正式奏响了分形几何研究的序曲。
皮亚诺曲线（图片来源：百度百科）
维度概念的扩展，则得益于德国数学家豪斯多夫（Hausdorff）。他在1919年提出了维度的新定义。该定义为人们成功驱散了笼罩在分形曲线身上的迷雾奠定了基础。
在传统的观念下，**一个空间的维数等于决定空间中任何一点位置所需要变量的数目。**比如我们生活的空间之所以是三维空间，源自我们需要三个数值：经度、纬度和高度来确定物体在空间中的位置。这样的定义无比符合人们的直观，也因此在数千年间都被奉为圭臬。但是这种定义维度的方式，排除了分数维的可能。
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豪斯多夫另辟蹊径，从物体的自相似性来定义维度。自相似性，顾名思义，就是“一个图形的自身可以看成是由许多与自己相似的、大小不一的部分组成的”。比如一条线段是由两个与原线段相似、长度一半的线段接成。一个立方体，则可以看成是由8个大小为自身八分之一的小立方体组成。
简而言之，如果一个图形按照N∶1的比例缩小后。如果原来的图形可以由M个缩小之后的图形拼成的话，这个图形的维数d，就是豪斯多夫维数，定义为 d = ln(M)/ln(N). 在豪斯多夫的定义下，皮亚诺的曲线恰好就是二维！因此它能填满正方形并不奇怪。
皮亚诺曲线就是一条自相似的曲线。它身上揭示了分形的诸多特征：**具有自相似性、具有无穷多的层次和细节，可以被无限放大、永远都有结构，最令人惊异的是，它还可以是分数维。**比如著名的科赫雪花曲线就是1.26维，谢尔宾斯基三角形则是1.58维。
雪花的分形（图片来源：网络）
皮亚诺曲线发现后的83年，曼德勃罗首次提出了分形几何的概念。他在一次公开演讲中提出了一个看起来让众人乏味的问题：英国海岸线究竟有多长？
人们会轻描淡写地回答：只要用仪器去测量就行啊，只要测量得足够精确，总能得到想要的结果。然而，出乎所有人的意料，如果用不同大小的度量标准来测量海岸线的长度，每次竟然会得出完全不同的结果。当度量标准的尺度越小，测量出来的海岸线的长度会越来越长。随着测量精确的提高，英国海岸线的长度也在迅速趋于无穷。多年以后，科学家们才发现，英国海岸线是一个复杂的分形曲线。根据多次测量所得的结果，英国海岸线的分形维数大约等于1.25。
图片来源：视觉中国 更令众人吃惊的是，英国海岸线里隐藏的秘密竟然也和人体的生命构造息息相关。分形的发现，则将人们引向越来越奇异的科学探索之旅。大自然，处处都彰显出伟大的和谐与统一。
人体竟是分形的杰作
英国的海岸线展示出分形那令人惊异的奇妙性质。海岸线围成的国土面积有限，却拥有近乎无限的长度。然而，更让人意想不到的是，英国的海岸线和人体的构造息息相关。 分形，在上帝创造生命的过程中扮演着至关重要的角色。可以说，没有分形，人类这种伟大而聪慧的生灵可能根本就不会出现。 为了维持人体生存的必需，血管肩负起传递营养的重责。人的身体各处都布满血管，从大动脉到微血管，就是为了保证每个细胞都能从血液的流动中交换必要的成分。大动脉负责主要血液的流动，微血管甚至只能允许单个血细胞通行。考虑到每个细胞都需要直接供血，血液循环系统的总体表面积会非常巨大。然而出乎意料的是，这样一个极为复杂细致、遍布全身的血液网络，其血流量的总体积却仅占据人体体积的5%。
图片来源：视觉中国 科学家经过仔细研究发现：原来，血管的分叉就是一种分形结构。经过精密的实验测定，人体动脉的分形维数大约为2.7。
更进一步，科学家们发现，人体的主要器官和结构都是分形的杰作。
**人体的肺部细胞、大脑的表面、肝胆和小肠的结构、泌尿系统、神经元的分布、双螺旋的DNA结构甚至蛋白质的分子链等等，都有明显的分形特征：自相似性。**甚至生物体中每个单元的形态结构、遗传特性等，在不同程度上可看作是生物整体的缩影。比如，人耳的形状，就非常类似母体胚胎中蜷缩的婴儿。
以肺部器官为例。人体的肺部管道，就遵循着反复的树形分叉结构。为了能在有限的体积内充分吸收空气，肺部的表面积竟然差不多和整个网球场一样大，这无疑是仰赖于分形的功劳。实验揭示，肺泡的分形维数大约为2.97。
图片来源：视觉中国 人类的大脑更是分形艺术的杰作。大脑表面的皱纹也呈现出复杂的分形结构，目的就是为了在有限的体积内，能拥有更大的表面积，从而可能拥有更加复杂的思考能力。科学家估算出大脑的分形维数大致在2.75左右。
图片来源：视觉中国 生命的传承主要依靠细胞的繁殖分裂。单个细胞所蕴含的生物的个体信息，能够全部用于自我复制和重组，成长为一个全新的生命体，这就类似于分形的自相似性。整体的宏观表象，就是每一个细胞的分形合作。
在人体中，除了各种大小器官等的空间分形结构之外，**心脏中输送的电流脉冲、心跳节律、脑电波等，这些随时间变动的波形曲线也是分形。**不仅如此，人们逐渐认识到，分形甚至是混沌的一种表征结构。事实上，表面上看起来杂乱无章的混沌在某种程度上就可以视为时间上的分形。一个系统的混沌运动是它的本质，分形是它的表现形式；换句话说，混沌学与分形学具有很深的内在联系，如果说分形几何为描写混沌的内部结构提供了一个很实用的语言，那么，混沌运动则被认为是产生分形结构的根源。
分形还有更令人匪夷所思的功能。它除了是人体构成的深层次结构，更能提供人们健康生活的保障。普通人的心脏每分钟都在按照一定频率有规律的跳动。人们想当然地认为心率正常就是身体健康的标志。然而通过对人群的持续追踪则表明：**健康人的心率曲线呈现凹凸不平的特征，既有混沌的跳动，又具有分形的自相似性。**颠覆人们想法的是，癫痫患者和帕金森病患者的心率曲线反而表现出更多的规则和周期的规律性行为。
图片来源：视觉中国 所有的一切都在突破人们对生命系统的传统认知，原来健康的生理特征本质上应该是混沌的。那些在生理上看起来规律的信号，反而可能预示着生命体的异常。 如果考虑到人体的诸多器官和组织都是分形的结构，那么这样的结果也许并不出乎意外。这些器官正常工作产生的信号理应是混沌的。混沌的复杂性、摇摆性，在不同状态随时切换的可能性，才使得人体具有高度的适应性和灵活性，可以去应付外界各种复杂的环境变化。混沌，表面上看起来无迹可寻，却在帮助人体在环境的剧变下生存下来。正如人的大脑也是混沌系统一样，各种微小的外界输入和刺激都能帮助大脑做出天壤之别的反应，这也许正是人类创造性的来源。也正因为混沌的不可预测性，人的行为才有可能表现出智慧和反复的一面。
分形，以及由此产生的混沌，使人类拥有高度的自我进化和调节能力，而一个拥有开放心态和适应能力的生命体，必将能创造更加辉煌的未来。
参考文献：
- 《数学的故事》，伊恩.斯图尔特著, 上海辞书出版社，2013。
- 《从混沌到有序人与自然的新对话》，伊里亚·普里戈金、斯唐热著，上海译文出版社，1987。
- 《复杂》，米歇尔.沃尔德罗普著，生活·读书·新知三联书店，1997。
- 《蝴蝶效应之谜》，张天蓉著，清华大学出版社，2013。
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