混沌与分形（下）
文章来源：“科学大院”公众号（ID：kexuedayuan）
曼德勃罗提出了分形，其美妙之处在于：一个公式，演化万物。科学如此，生活如此，投资亦是如此。
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作者：黄逸文
分形是天使，混沌是魔鬼
一旦意识到分形的重大意义，人们才发现，分形在世界上无处不在。近在眼前的人体，其自身的各种器官就有相应的分形结构。远在天边的浮云，则在一个较大的尺度范围内有维数为1.35的边界。英国的海岸线是1.25维的分形，而众多山川地形的表面更是2.2维的分形曲面。
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**分形理论大大打开了各学科的眼界，逐渐渗透到物理、化学、地质、地理、生物、医学、冶金等科学领域。**科学家们则从这门新兴的分形理论中获得许多前所未有的新认识和新进展：物理中的湍流与相变，化学中的高分子链、催化剂表面、凝胶，天文学中的星团分布、宇宙大尺度结构，地学中的渗流、地貌演化，地理中的河流与水系，医学中的人体组织结构，材料的损伤断裂等等。**不仅在自然科学领域大放异彩，分形更是在经济学和人文科学的领域里攻城伐地。**经济学家用混沌理论预测经济的未来和股市的走势。在人类社会活动和社会现象中，很多地方都呈现出自相似性，这就是社会分形。作家用一部微缩作品反映一个时代的变迁就是一个社会分形元，比如曹雪芹的《红楼梦》描述了清朝时期的社会分形。
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从数学上来看，分形大多数是用非线性迭代法产生的。分形几何的创始人曼德勃罗曾经留下了迄今为止最奇异、魔幻的几何图形——曼德勃罗集。**曼德勃罗集被称为"上帝的指纹"和"魔鬼的聚合物"。**它就是由简单的非线性迭代所描述：Z(n+1)=Z(n)^2+C，这里Z和C都是复数。
曼德勃罗集
由曼德勃罗集出发，分形也为艺术家提供了大量的灵感。基于分形的原理，各种别出心裁的建筑设计更是层出不穷。分形几何理论的建立深深地影响了建筑学的发展，拓展了建筑形式的可能性。不仅如此，分形也深入到音乐和绘画中的创作中，极大地丰富了人们的审美空间。分形，俨然是宇宙中的天使，为万物奠定秩序和生机；而混沌，犹如黑暗中的魔鬼，为世界带来混乱和挑战。是什么力量，让世界在永恒的时间里同时趋于混乱和秩序？是什么力量，让魔鬼和天使和谐地相处在一起？原来，混沌呈现出的无规行为或无秩序，只是一种表面现象，只有深入到它的内心，才能发现其深刻的规律性。
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混沌一词在中文里最早出现于盘古开天辟地的传说之中，在《圣经》中也是指代天地初开时的空虚模糊。
西方世界自牛顿创立三大定律一来，一度相信世界的本质是确定性的结果。这种机械宇宙论发展到极致，更是被数学家拉普拉斯高傲地宣称：只要知道宇宙某一刻全部物质的状态，我们就能完全知晓宇宙的过去和未来。然而，牛顿的理论虽然取得巨大的成功，但是仍然在计算太阳系所有行星的运动时无能为力，甚至在预测太阳、地球和月亮的命运时都遭遇到巨大的理论挫折。这个困扰牛顿的难题，也被后世称为三体问题而声名大噪。
法国大数学家庞加莱曾经为三体问题殚精竭虑。即使对问题做出极大的简化，三体问题仍然复杂得让人望而生畏。他曾经失望地表达三体问题的计算难度远远超过想象。人们如此关心三体问题的结局，一方面是出于挑战难题的兴趣，另一方面也是对人类自身命运的关怀。如果牛顿理论是确定无疑的，那么三体问题的解答将给出人类所处的这个星球最后的命运归属。
庞加莱
尽管庞加莱未能解决三体问题，但是他却意外地发现一个惊人的事实：太阳系长期的轨道行为是不可预测的。初始条件非常小的变化，会导致之后的运动产生巨大的改变。
1963年，美国气象学家洛伦兹也发现了类似的现象。洛伦兹在用计算机求解一个简化的大气对流模型时，发现这些解以不规则、甚至是随机的方式震荡。初值的极小波动会引起解的剧烈变化。这种奇异的现象后来成了人们耳熟能详的描述：一只巴西热带雨林中的蝴蝶煽动几下翅膀，可能在美国德克萨斯州引起一场龙卷风。这就是大名鼎鼎的"蝴蝶效应"。
洛伦茨用三个变量、三个方程描述了系统的运动，用三维空间来画出三变量系统的轨迹。点的轨迹永远不相交，它永远地在打圈子，表现出一种无穷尽的复杂性。图像一直保持在一定的范围内，既不重复自己，又不跑到纸外。轨迹形成了一个奇怪而明确的图案，像三维空间的一对旋涡，又像一对蝴蝶的翅膀。这就是为后人津津乐道的"蝴蝶吸引子"。
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蝴蝶吸引子是非线性动力系统的神奇现象之一，然而科学家一直没有找到适当命名这一大类问题的方法。1975年，华人科学家李天岩和其博士生导师约克才在其论文中为这种离散动力系统所呈现出的奇异特性命名为"混沌"。自此，混沌终于现身，它打开了现代动力系统研究的大门。科学家终于凌厉地突破自牛顿时代以来一直统治着科学的线性的、还原论的思维方式。
正是混沌魔鬼的现身，让长期的天气预报成为不可能。在现实生活中，天气的实际测量总是存在误差，然而哪怕在小数点后面100位的数字变动了一点，天气预报的结果都可能会大相径庭。太阳系也存在类似的问题，这也让预测人类的终极命运成为永恒的未知。事实上，人们最多只能预测太阳系未来1000年的动力学行为。
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非线性系统，由于混沌造成了无法跨越的困难，也因此，混沌被视为自然科学中的魔鬼，阻扰着人们对真理的终极认知。
奇妙的是，混沌的魔鬼只是披着表面的任性，它的内心同样遵循着秩序。美妙的蝴蝶吸引子，提供了混沌从无序迈向有序的铁证。它是链接混沌和分形的桥梁。吸引子实际上是一个具有无穷结构的分形。数学家发现洛伦茨吸引子的分形维数，在2.06左右。天使和魔鬼，原本就是一家人。
未来，一切皆有可能
混沌的表面模糊不清，然而其核心却和分形紧密联系在一起。
无论是洛伦兹气象模型还是三体问题，都是一个确定性的微分方程，最终却产生了混沌的现象。混沌是系统长期演化的结果。**因此，研究一个动力学系统的长期行为才有可能揭示混沌的本质。**原来，一个系统的状态会随着某些参数的变化从平衡走向混沌。这个事实被称为倍周期分岔现象。当参数的取值在一定范围时，系统会长期趋于一个稳定的状态。这个状态就是人们期望预知的终极状态。比如一个在空气中运动的小球如果没有其他外力的驱使，最终会静止下来。这种静止态就是小球的归宿。可是当参数的取值发生变化时，系统的终极状态不再是唯一的，而可能是在两个状态之间彼此摇摆。系统在单位时间内从一个状态跳到另外一个状态，然后再次经历单位时间，系统再次从另外一个状态跳回来。因此，系统回到相同状态的时间就变成了单个状态的两倍。随着参数值的继续增加，终极状态的数目也在迅速增加，每次都会以两倍的形式递增。这就是倍周期分岔现象。
倍周期分岔（图片来源：网络）
倍周期分岔现象是系统出现混沌的先兆，最终会导致有序到无序，稳态向混沌的转变。当参数出现更大的变化时，倍周期分岔现象呈崩溃之势，平衡点已无法区分，连接成一片连续区域。此时就出现了混沌。而倍周期分岔现象就具有自相似性及普适性等重要的特征。**这个与内在随机性密切相关的几何性质揭示了倍周期分岔现象与分形、混沌、奇异吸引子等之间的内在联系，也成为混沌内蕴的秩序象征。**凡事皆有利有弊。混沌的出现带来了混乱，却也在某方面带来了希望。既然扰动会带来破坏性的结果，那么寻找合适的小扰动，就可以起到四两拨千斤的效果。这就是混沌控制的精髓。
太空旅行中，也许通过混沌控制，使用极少的燃料就能实现星际穿梭。混沌里的蝴蝶效应更可以在医学上一展宏图，诸如控制心律失常、抑制癫痫等等，甚至还能让湍流过渡为平稳的运动，减少飞机的危险。
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不仅如此，混沌甚至是调节国民经济、缓冲经济危机的利器。众所周知，股市是经济的晴雨表。传统经济学认为，股市是随机游走的布朗运动，其波动符合对数正态分布。由于其高度的随机性，人们无法预测股市的未来，更无法指定合适的政策来维护股市的稳定。 然而，经过多年的实际观测，股市的表现更多呈现出尖峰肥尾的特征，在一定程度上偏离了随机游走的假设。1982年，美国经济学家德依引入了混沌研究经济学的表现。随后，人们开始在各种市场上应用混沌理论寻找其吸引子的特征，并取得非凡的结果。经济呈现出的混沌现象愈来愈多。经济混沌的存在，虽然不能极大改进经济预测的能力，但是却可以大幅度改善政府对市场的调控能力。这对经济周期的波动和股市的灾难预警提供了更多的宏观政策依据。
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混沌的极端不稳定性和对初值的敏感依赖还被用于通信加密。信号一旦被监听干扰就会产生不可逆转的误差，这为破译信号带来极大的的困难，更是开辟了通信技术的新天地。 分形是天使，它呈现出的玄机和美感为人类提供了丰富的灵感源泉。 美妙的分形奏响了一曲迷人的音乐篇章，其深刻的本质完全颠覆了人们对传统事物的认识。 混沌是魔鬼，它成为复杂现象的代名词，更是牛顿的确定科学论终结的标志之一。 混沌为人们探索真理的疆域划定了边界。在混沌的笼罩下，人们无法预知诸多复杂系统的未来。然而，这也激发了人类持续进步、永不枯竭的创造能力。世界的命运就掌握在你我手中，没有什么比确定性的结局更让人沮丧，也没有什么比一切皆有可能更加振奋人心。 天使和魔鬼，组成了世界运行的规则。它就是真实世界的两面。在魔鬼的内心，隐藏着天使的灵魂。在天使的背后，潜伏着魔鬼的骚动。认识世界的复杂性，摒弃单一的二元对立思维，才能真正走入现代科学的复杂时代，迎接更多可能的未来。
参考文献：
- 《数学的故事》，伊恩.斯图尔特著, 上海辞书出版社，2013。
- 《从混沌到有序人与自然的新对话》，伊里亚·普里戈金、斯唐热著，上海译文出版社，1987。
- 《复杂》，米歇尔.沃尔德罗普著，生活·读书·新知三联书店，1997。
- 《蝴蝶效应之谜》，张天蓉著，清华大学出版社，2013。
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